連続の式の導出

連続の式

点 xt∈Rdx_t\in\mathbb R^d の運動が以下のように表されるとする：

ddtXt=vt(Xt),X0∼P0. \frac{d}{dt}X_t = v_t(X_t),\qquad X_0\sim P_0.

ただし、vt:Rd→Rdv_t:\mathbb R^d\to\mathbb R^d は滑らかなベクトル場であり、P0P_0 は初期分布を表す確率測度である。

XtX_t の分布を PtP_t とし、密度 ptp_t が存在するとき、連続の式が成り立つ：

∂tpt(x)=−∇ ⁣⋅ ⁣(pt(x) vt(x)). \partial_t p_t(x) = -\nabla\!\cdot\!\bigl(p_t(x)\,v_t(x)\bigr).

導出

任意のテスト関数 f:Rd→Rf:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R} に対し，

∫f(x) ∂tpt(x) dx=ddt∫f(x) pt(x) dx\int f(x)\,\partial_t p_t(x)\,dx =\frac{d}{dt}\int f(x)\,p_t(x)\,dx

一方，写像 ϕt:Rd→Rd\phi_t:\mathbb R^d\to\mathbb R^d を

ϕt(x0)=x0+∫0tvs(ϕs(x0)) ds,∂∂tϕt(x0)=vt(ϕt(x0)),\phi_t(x_0) = x_0 + \int_0^t v_s\left(\phi_s(x_0)\right)\,ds, \qquad \frac{\partial}{\partial t}\phi_t(x_0) = v_t\left(\phi_t(x_0)\right),

と定義すると，

ddt∫f(x) pt(x) dx=ddt∫f(x)Pt(dx)=ddt∫f(x) ϕt#P0(dx)=ddt∫f(ϕt(x)) p0(x) dx=∫⟨∇f(ϕt(x)),ddtϕt(x)⟩ P0(dx)=∫⟨∇f(ϕt(x)),vt(ϕt(x))⟩ P0(dx)=∫⟨∇f(x),vt(x)⟩ ϕt#P0(dx)=∫⟨∇f(x),vt(x)⟩ pt(x) dx=∫⟨∇f(x),pt(x)vt(x)⟩ dx=(a)−∫f(x)∇⋅(pt(x)vt(x)) dx\begin{align*} \frac{d}{dt}\int f(x)\,p_t(x)\,dx &= \frac{d}{dt} \int f(x) P_t(dx) \\ &= \frac{d}{dt} \int f(x) \, \phi_{t\#}P_0(dx) \\ &= \frac{d}{dt} \int f\left(\phi_t(x)\right) \, p_0(x) \, dx \\ &= \int \langle\nabla f\left(\phi_t(x)\right), \frac{d}{dt}\phi_t(x)\rangle \, P_0(dx) \\ &= \int \langle\nabla f\left(\phi_t(x)\right), v_t\left(\phi_t(x)\right)\rangle \, P_0(dx) \\ &= \int \langle \nabla f(x), v_t(x) \rangle \, \phi_{t\#}P_0(dx) \\ &= \int \langle \nabla f(x), v_t(x) \rangle \, p_t(x) \, dx \\ &= \int \langle \nabla f(x), p_t(x) v_t(x) \rangle \, dx \\ &\overset{\text{(a)}}{=} - \int f(x) \nabla\cdot\left(p_t(x) v_t(x)\right) \, dx \\ \end{align*}

ここで、(a) は後述の部分積分公式を用いた。

よって

∫f(x) ∂tpt(x) dx=−∫f(x) ∇ ⁣⋅ ⁣(pt(x) vt(x)) dx\int f(x) \,\partial_t p_t(x)\,dx = -\int f(x) \,\nabla\!\cdot\!\left(p_t(x)\,v_t(x)\right)\,dx

ff の任意性より

∂tpt(x)=−∇ ⁣⋅ ⁣(pt(x) vt(x)).\partial_t p_t(x) =-\nabla\!\cdot\!\left(p_t(x)\,v_t(x)\right).

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部分積分公式

テスト関数 f:Rd→Rf:\mathbb R^d\to\mathbb R と滑らかなベクトル場 ψ:Rd→Rd\psi:\mathbb R^d\to\mathbb R^d に対し、以下のような部分積分公式が成り立つ：

∫⟨∇f(x),ψ(x)⟩ dx=−∫f(x) ∇ ⁣⋅ ⁣ψ(x) dx.\int \langle\nabla f(x), \psi(x)\rangle\,dx =-\int f(x)\,\nabla\!\cdot\!\psi(x)\,dx.

証明

∫∇f(x) ⁣T ψ(x) dx=∑i=1d∫∂if(x) ψi(x) dx=∑i=1d[f(x) ψi(x)]xi=−∞xi=+∞  −  ∑i=1d∫f(x) ∂iψi(x) dx=−∫f(x) ∑i=1d∂iψi(x)⏟=∇⋅ψ(x) dx=−∫f(x) ∇ ⁣⋅ ⁣ψ(x) dx.\begin{aligned} \int \nabla f(x)^{\!T}\,\psi(x)\,dx &=\sum_{i=1}^d\int \partial_i f(x)\,\psi_i(x)\,dx\\ &=\sum_{i=1}^d\left[f(x)\,\psi_i(x)\right]_{x_i=-\infty}^{x_i=+\infty} \;-\;\sum_{i=1}^d\int f(x)\,\partial_i\psi_i(x)\,dx\\ &=-\int f(x)\,\underbrace{\sum_{i=1}^d\partial_i\psi_i(x)}_{=\nabla\cdot\psi(x)}\,dx\\ &=-\int f(x)\,\nabla\!\cdot\!\psi(x)\,dx. \end{aligned}

ここで、ff はコンパクトサポート関数より xi=−∞x_i=-\infty および xi=+∞x_i=+\infty のとき f(x)=0f(x)=0 であることを用いた。

□\square

References