多変量正規分布の定義

$d$ 次元多変量正規分布の確率密度関数は次のように定義されます。

$$f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu)\right)$$

ここで

• $\mu$：平均ベクトル
• $\Sigma$：分散共分散行列（正定値対称行列）
• $|\Sigma|$：行列 $\Sigma$ の行列式

微分の計算

$$\begin{align*} \nabla_\mu f(x) &= \frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}} \nabla_\mu \exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu)\right) \\ &= \frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu)\right) \cdot \nabla_\mu \left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu)\right) \\ &= f(x) \left(-\frac{1}{2} \cdot \left(-2 \Sigma^{-1} (x-\mu) \right)\right) \\ &= f(x) \Sigma^{-1} (x-\mu) \end{align*}$$

よって

$$\nabla_\mu f(x) = f(x) \Sigma^{-1} (x-\mu)$$

References

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