事前知識

• Softmax については，この記事などを参照してください．
• リプシッツ連続については，この記事などを参照してください．

命題

Proposition 1.
$\text{softmax}(\mathbf{x})$ は L1 ノルムに関して $\frac{\lambda}{2}$-リプシッツ連続である．

証明

$\text{Lip}_1(\text{softmax}) = \underset{x\in\mathbb R^n}{\sup}\|J_{\text{softmax}}(\mathbf x)\|_1 = \frac\lambda 2$ を示せればいい．

$J_{\text{softmax}}(\mathbf x) = \lambda(\text{diag}(\text{softmax}(\mathbf x)) - \text{softmax}(\mathbf x)\text{softmax}(\mathbf x)^T)$ なので，

$$\begin{align*} \|J_{\text{softmax}}(\mathbf x)\|_1 &= \underset{1\le j \le d}{\max} \sum\limits_{i=1}^d |J_{\text{softmax}}(\mathbf x)_{ij} | \\ &= \underset{1\le j \le d}{\max} \sum\limits_{i=1}^d |\lambda\text{softmax}(\mathbf x)_i(\delta_{ij}-\text{softmax}(\mathbf x)_j)| \\ &= \underset{1\le j \le d}{\max} \lambda \left( \text{softmax}(\mathbf x)_j (1-\text{softmax}(\mathbf x)_j) + \text{softmax}(\mathbf x)_j \sum\limits_{i\ne j} \text{softmax}(\mathbf x)_i \right) \\ &= \underset{1\le j \le d}{\max} 2\lambda \left( \text{softmax}(\mathbf x)_j(1-\text{softmax}(\mathbf x)_j) \right) \\ &= 2\lambda\left( \underset{1\le j \le d}{\max} \text{softmax}(\mathbf x)_j(1-\text{softmax}(\mathbf x)_j) \right) \end{align*}$$

任意の $j$ で $0<\text{softmax}(\mathbf x)_j<1$ が成り立つので，関数 $f(x)=x(1-x),\:x\in(0,1)$ を考えると，$x=\frac12$ で最大値 $\frac14$ を取る． $\underset{1\le j\le d}{\max} \text{softmax}(\mathbf x)_j = \frac12$ となるような $\mathbf x$ は存在するので，以下が成り立つ．

$$\|J_{\text{softmax}}(\mathbf x)\|_1 = 2\lambda\left( \underset{1\le j \le d}{\max} \text{softmax}(\mathbf x)_j(1-\text{softmax}(\mathbf x)_j) \right) = 2\lambda\cdot \frac14 = \frac\lambda2$$

$\square$

References

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