Softmax の定義

$\text{softmax}:\mathbb R^d\to\mathbb R^d$ は次のように定義されます．

$$\text{softmax}(\mathbf{x}) = \frac{1}{\sum\limits_{i=1}^d\exp(x_i)} \begin{bmatrix} \exp(x_1) \\ \dots \\ \exp(x_d) \end{bmatrix}$$

この写像は，入力値を正のベクトルに変換し，全ての成分の合計が 1 になるように正規化します． つまり，任意のベクトルを確率ベクトルへ移す写像です．

数値的な問題

Softmax を計算する際，$\exp(x)$ を計算する必要があるため，$x$ の値が大きいとオーバーフローが発生しやすくなります． 例えば，以下のように softmax 関数を定義すると，$x$ の値が大きいときにオーバーフローが発生します．

import numpy as np

def softmax(x):
    return np.exp(x) / np.sum(np.exp(x))

print(f"{softmax(np.array([0.5, 0.1, 0.2]))}")
>>> [0.41474187 0.27800979 0.30724834]

# オーバーフローが発生する
print(f"{softmax(np.array([1000.0, 0.1, 0.2]))}")
>>> [nan  0.  0.]

数値安定性のための工夫

Softmax の数値安定性のために，以下が成り立つことを利用します．

$$\begin{align*} \text{softmax}(\mathbf{x})_j &= \frac{\exp(x_j)}{\sum\limits_{i=1}^d\exp(x_i)} \\ &= \frac{\exp(-C)\exp(x_j)}{\exp(-C)\sum\limits_{i=1}^d\exp(x_i)} \\ &= \frac{\exp(x_j - C)}{\sum\limits_{i=1}^d\exp(x_i - C)} \\ \end{align*}$$

ここで，$C = \max\limits_{i=1} x_i$ とすると任意の $j$ に対して $\exp(x_j - C)\le 1$ となり，オーバーフローを防ぐことができます．

import numpy as np

def softmax_stab(x):
    C = np.max(x)
    return np.exp(x - C) / np.sum(np.exp(x - C))

print(f"{softmax_stab(np.array([0.5, 0.1, 0.2]))}")
>>> [0.41474187 0.27800979 0.30724834]

# オーバーフローが発生しない
print(f"{softmax_stab(np.array([1000.0, 0.1, 0.2]))}")
>>> [1. 0. 0.]