以下の命題が成り立つことを利用することがあったので，その証明と具体例をまとめておく．

命題

Proposition 1
$A, B\in\mathbb R^{d\times d}$ を固有ベクトルが同じ対称行列とすると，$AB=BA$ が成り立つ．

証明

$A, B$ が対称行列かつ固有ベクトルが同じであることから，直交行列 $P$ と対角行列 $\Lambda, M$ を用いて以下のように対角化できる¹．

$$\begin{align*} A &= P\Lambda P^T, \\ B &= PMP^T. \end{align*}$$

このとき，積 $AB$ は次のように計算できる．

$$\begin{align*} AB &= P\Lambda P^T PMP^T \\ &= P\Lambda M P^T. \end{align*}$$

同様に $BA$ を計算すると，

$$\begin{align*} BA &= PMP^T P\Lambda P^T \\ &= PM \Lambda P^T. \end{align*}$$

ここで，対角行列同士の積は可換であるため，$\Lambda M = M \Lambda$ が成り立ち，したがって

$$P\Lambda M P^T = PM \Lambda P^T$$

となる．よって $AB = BA$ である．$\square$

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具体例

$A\in\mathbb R^{d\times d}$ を対称行列とすると，以下の行列は $A$ と同じ固有ベクトルを持つ．

• 逆行列が存在すれば $A^{-1}$
• 対角成分に $\lambda\in\mathbb R$ を足した行列 $A+\lambda I$

それぞれについて証明する．

1. 逆行列 $A^{-1}$ の場合

$A$ の固有値と固有ベクトルを $\{ (\lambda_i, x_i) \}_{i=1}^d$ とする．すると，

$$A x_i = \lambda_i x_i$$

が成り立つ．$A^{-1}$ が存在すると仮定すると，両辺に $A^{-1}$ を掛けて

$$A^{-1} A x_i = A^{-1} \lambda_i x_i$$

より，

$$x_i = \lambda_i A^{-1} x_i.$$

したがって，

$$A^{-1} x_i = \frac{1}{\lambda_i} x_i.$$

つまり，$A^{-1}$ の固有値と固有ベクトルは $\{ (1/\lambda_i, x_i) \}_{i=1}^d$ であり，$A$ と同じ固有ベクトルを持つ．

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2. $A+\lambda I$ の場合

同様に $A$ の固有値と固有ベクトルを $\{ (\lambda_i, x_i) \}_{i=1}^d$ とすると，

$$A x_i = \lambda_i x_i.$$

両辺に $\lambda I x_i$ を加えると，

$$A x_i + \lambda I x_i = \lambda_i x_i + \lambda I x_i.$$

ここで，$I x_i = x_i$ であるから，

$$(A+\lambda I) x_i = (\lambda_i+\lambda) x_i.$$

したがって，$A+\lambda I$ の固有値と固有ベクトルは $\{ (\lambda_i+\lambda, x_i) \}_{i=1}^d$ であり，$A$ と同じ固有ベクトルを持つ．$\square$

まとめ

• 固有ベクトルが共通する対称行列同士は可換である．
• $A$ の逆行列 $A^{-1}$ や，$A$ にスカラー倍の単位行列を加えた $A+\lambda I$ は，$A$ と同じ固有ベクトルを持つ．

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Footnotes

1. 対称行列が直交行列で対角化できる理由は 対称行列の定義と性質4つとその証明 | 数学の景色 などを参照してください． ↩