固有ベクトルを共有する対称行列の積は可換

以下の命題が成り立つことを利用することがあったので、その証明と具体例をまとめておく。

命題

Proposition 1
A,B∈Rd×dA, B\in\mathbb R^{d\times d} を固有ベクトルが同じ対称行列とすると、AB=BAAB=BA が成り立つ。

証明

A,BA, B が対称行列かつ固有ベクトルが同じであることから、直交行列 PP と対角行列 Λ,M\Lambda, M を用いて以下のように対角化できる1。

A=PΛPT,B=PMPT.\begin{align*} A &= P\Lambda P^T, \\ B &= PMP^T. \end{align*}

このとき、積 ABAB は次のように計算できる。

AB=PΛPTPMPT=PΛMPT.\begin{align*} AB &= P\Lambda P^T PMP^T \\ &= P\Lambda M P^T. \end{align*}

同様に BABA を計算すると、

BA=PMPTPΛPT=PMΛPT.\begin{align*} BA &= PMP^T P\Lambda P^T \\ &= PM \Lambda P^T. \end{align*}

ここで、対角行列同士の積は可換であるため、ΛM=MΛ\Lambda M = M \Lambda が成り立ち、したがって

PΛMPT=PMΛPTP\Lambda M P^T = PM \Lambda P^T

となる。よって AB=BAAB = BA である。□\square

具体例

A∈Rd×dA\in\mathbb R^{d\times d} を対称行列とすると、以下の行列は AA と同じ固有ベクトルを持つ。

  • 逆行列が存在すれば A−1A^{-1}
  • 対角成分に λ∈R\lambda\in\mathbb R を足した行列 A+λIA+\lambda I

それぞれについて証明する。

1. 逆行列 A−1A^{-1} の場合

AA の固有値と固有ベクトルを {(λi,xi)}i=1d\{ (\lambda_i, x_i) \}_{i=1}^d とする。すると、

Axi=λixiA x_i = \lambda_i x_i

が成り立つ。A−1A^{-1} が存在すると仮定すると、両辺に A−1A^{-1} を掛けて

A−1Axi=A−1λixiA^{-1} A x_i = A^{-1} \lambda_i x_i

より、

xi=λiA−1xi.x_i = \lambda_i A^{-1} x_i.

したがって、

A−1xi=1λixi.A^{-1} x_i = \frac{1}{\lambda_i} x_i.

つまり、A−1A^{-1} の固有値と固有ベクトルは {(1/λi,xi)}i=1d\{ (1/\lambda_i, x_i) \}_{i=1}^d であり、AA と同じ固有ベクトルを持つ。

2. A+λIA+\lambda I の場合

同様に AA の固有値と固有ベクトルを {(λi,xi)}i=1d\{ (\lambda_i, x_i) \}_{i=1}^d とすると、

Axi=λixi.A x_i = \lambda_i x_i.

両辺に λIxi\lambda I x_i を加えると、

Axi+λIxi=λixi+λIxi.A x_i + \lambda I x_i = \lambda_i x_i + \lambda I x_i.

ここで、Ixi=xiI x_i = x_i であるから、

(A+λI)xi=(λi+λ)xi.(A+\lambda I) x_i = (\lambda_i+\lambda) x_i.

したがって、A+λIA+\lambda I の固有値と固有ベクトルは {(λi+λ,xi)}i=1d\{ (\lambda_i+\lambda, x_i) \}_{i=1}^d であり、AA と同じ固有ベクトルを持つ。□\square

まとめ

  • 固有ベクトルが共通する対称行列同士は可換である。
  • AA の逆行列 A−1A^{-1} や、AA にスカラー倍の単位行列を加えた A+λIA+\lambda I は、AA と同じ固有ベクトルを持つ。

Footnotes

  1. 対称行列が直交行列で対角化できる理由は 対称行列の定義と性質4つとその証明 | 数学の景色 などを参照してください。 ↩